Razlika između aritmetičke sekvence i geometrijske sekvence

Aritmetička sekvenca vs geometrijska sekvenca
 

Proučavanje obrazaca brojeva i njihovog ponašanja važno je područje u području matematike. Često se ti obrasci mogu vidjeti u prirodi i pomažu nam da objasnimo njihovo ponašanje sa znanstvenog stajališta. Aritmetičke sekvence i geometrijski nizovi su dva osnovna obrasca koja se pojavljuju u brojevima i često se nalaze u prirodnim pojavama.

Slijed je skup uređenih brojeva. Broj elemenata u nizu može biti konačan ili beskonačan.

Više o aritmetičkoj sekvenci (aritmetička progresija)

Aritmetički niz definira se kao niz brojeva s konstantnom razlikom između svakog uzastopnog pojma. Poznat je i kao aritmetička progresija.

Aritmetička sekvence ⇒ a₁, ₂, _3, 4,…, A_n ; gdje₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, i tako dalje.

Ako je početni izraz a₁ a zajednička je razlika d, tada je n^th izraz niza je dan sa;

_n = a₁ + (N-1) d

Dalje uzimajući gornji rezultat, n^th izraz se može dati i kao;

_n = a_m + (N-m) d, gdje_m je slučajni izraz u nizu takav da je n> m.

Skup parnih brojeva i skup neparnih brojeva su najjednostavniji primjeri aritmetičkih nizova, gdje svaki niz ima zajedničku razliku (d) od 2.

Broj izraza u nizu može biti beskonačan ili konačan. U beskonačnom slučaju (n → ∞) slijed teži ka beskonačnosti, ovisno o uobičajenoj razlici (a_n → ± ∞). Ako je zajednička razlika pozitivna (d> 0), slijed teži ka pozitivnoj beskonačnosti, a ako je zajednička razlika negativna (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Zbroj pojmova u aritmetičkom nizu poznat je kao aritmetički niz: S_n= a₁ + ₂ + ₃ + ₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n i;} i S_n = (n / 2) (a₁ + _n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] daje vrijednost niza (S_n).

Više o geometrijskom slijedu (geometrijski napredak)

Geometrijski niz definiran je kao niz u kojem je kvocijent bilo koja od dva uzastopna izraza konstanta. To je također poznato kao geometrijska progresija.

Geometrijski niz ⇒ a₁, ₂, ₃, ₄,…, A_n; gdje₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r, i tako dalje, gdje je r stvarni broj.

Lakše je predstaviti geometrijski niz pomoću zajedničkog omjera (r) i početnog pojma (a). Otuda je geometrijski slijed ⇒ a₁, ₁r, a₁r², ₁r³,…, A₁r^n-1.

Opći oblik n^th izraze date od_n = a₁r^n-1. (Gubitak pretpisa početnog pojma ⇒ a_n = ar^n-1)

Geometrijski niz također može biti konačan ili beskonačan. Ako je broj pojmova konačan, za niz se kaže da je konačan. A ako su pojmovi beskonačni, niz može biti beskonačan ili konačan, ovisno o omjeru r. Zajednički omjer utječe na mnoga svojstva u geometrijskim nizovima. 

r> o	0 < r < +1	Niz se konvergira - eksponencijalno propadanje, tj. An → 0, n → ∞
	r = 1	Konstantni niz, tj. An = konstanta
	r> 1	Sekvenca se razilazi - eksponencijalni rast, tj. An → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Niz je oscilirajući, ali se konvergira
	r = 1	Slijed je naizmjeničan i konstantan, tj. An = ± konstanta
	r < -1	Niz se mijenja i razlikuje se. tj. an → ± ∞, n → ∞
r = 0	Niz je niz nula

N.B: U svim gore navedenim slučajevima, a₁ > 0; ako a₁ < 0, the signs related to a_n bit će obrnuta.

Vremenski interval između naleta lopte slijedi geometrijski slijed idealnog modela i to je konvergentni niz.

Zbroj izraza geometrijskog niza poznat je kao geometrijski niz; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} ar^ja. Zbroj geometrijskih serija može se izračunati pomoću sljedeće formule.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-f); gdje je a početni pojam, a r omjer.

Ako je omjer, r ≤ 1, niz se konvergira. Za beskonačni niz vrijednost konvergencije daje S_n = a / (1-r) 

Koja je razlika između aritmetičke i geometrijske sekvence / progresije?

• U aritmetičkoj sekvenci svaka dva uzastopna pojma imaju zajedničku razliku (d), dok u geometrijskom nizu svaka dva uzastopna pojma imaju konstantan kvocijent (r).

• U aritmetičkom nizu varijacija pojmova je linearna, tj. Može se povući ravna linija koja prolazi kroz sve točke. U geometrijskom nizu varijacija je eksponencijalna; ili raste ili propada na temelju zajedničkog omjera.

• Svi beskonačni aritmetički nizovi se razlikuju, dok beskonačni geometrijski niz može biti ili različit ili konvergentan.

• Geometrijski niz može pokazati oscilaciju ako je omjer r negativan, a aritmetička serija ne prikazuje oscilacije