Razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi

Linearne vs nelinearne diferencijalne jednadžbe
 

Jednadžba koja sadrži barem jedan diferencijalni koeficijent ili derivat nepoznate varijable poznata je kao diferencijalna jednadžba. Diferencijalna jednadžba može biti linearna ili nelinearna. Opseg ovog članka je objasniti što je linearna diferencijalna jednadžba, što je nelinearna diferencijalna jednadžba i koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.

Od razvoja matematičara u 18. stoljeću matematičara poput Newtona i Leibnitza, diferencijalna jednadžba igrala je važnu ulogu u povijesti matematike. Diferencijalne jednadžbe su od velike važnosti u matematici zbog svog područja primjene. Diferencijalne jednadžbe su u srcu svakog modela koji razvijemo da objasnimo bilo koji scenarij ili događaj na svijetu, bilo da je riječ o fizici, inženjerstvu, kemiji, statistici, financijskoj analizi ili biologiji (popis je beskrajan). U stvari, sve dok kalkuliranje nije postalo utvrđena teorija, odgovarajući matematički alati nisu bili dostupni za analizu zanimljivih problema u prirodi.

Rezultat jednadžbe iz određene primjene računa može biti vrlo složen i ponekad nije rješiv. Međutim, postoje i oni koje možemo riješiti, ali mogu izgledati podjednako i zbunjujuće. Stoga se radi lakše identifikacije diferencijalne jednadžbe kategoriziraju prema njihovom matematičkom ponašanju. Linearna i nelinearna jedna je takva kategorizacija. Važno je utvrditi razliku između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.

Što je linearna diferencijalna jednadžba?

Pretpostavljam da f: X → Y i f (x) = y, a diferencijalna jednadžba bez nelinearnih izraza nepoznate funkcije y a njeni derivati ​​poznati su kao linearna diferencijalna jednadžba.

On nameće uvjet da y ne može imati pojmove s višim indeksom, kao što je y², y³,… I više izvedenica kao što su 

Također ne može sadržavati nelinearne pojmove, kao što je Sin y, e^{y^ -2}, ili ln y. Poprima formu, 

gdje y i g su funkcije x. Jednadžba je diferencijalna jednadžba reda n, što je indeks derivata najvišeg reda.

U linearnoj diferencijalnoj jednadžbi diferencijalni operator je linearni operator, a rješenja tvore vektorski prostor. Kao rezultat linearne naravi skupa rješenja, linearna kombinacija rješenja je također rješenje diferencijalne jednadžbe. To jest, ako y₁ i y₂ su tada rješenja diferencijalne jednadžbe C₁ y₁+ C₂ y₂ je također rješenje.

Linearnost jednadžbe samo je jedan parametar klasifikacije, a ona se dalje može kategorizirati u homogene ili nehomogene i obične ili djelomične diferencijalne jednadžbe. Ako je funkcija g= 0, tada je jednadžba linearna homogena diferencijalna jednadžba. Ako f je funkcija dviju ili više neovisnih varijabli (f: X, T → Y) i f (x, t) = y , tada je jednadžba linearna parcijalna diferencijalna jednadžba.

Način rješenja za diferencijalnu jednadžbu ovisi o vrsti i koeficijentima diferencijalne jednadžbe. Najlakši slučaj nastaje kad su koeficijenti konstantni. Klasičan primjer za ovaj slučaj je Newtonov drugi zakon kretanja i njegove različite primjene. Newtonov drugi zakon proizvodi linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima.

Što je nelinearna diferencijalna jednadžba?

Jednadžbe koje sadrže nelinearne izraze poznate su kao nelinearne diferencijalne jednadžbe.

 

Sve gore su nelinearne diferencijalne jednadžbe. Nelinearne diferencijalne jednadžbe je teško riješiti, pa je potrebno usko proučavanje kako bi se dobilo ispravno rješenje. U slučaju djelomičnih diferencijalnih jednadžbi, većina jednadžbi nema opće rješenje. Stoga se svaka jednadžba mora tretirati neovisno.

Navier-Stokesova jednadžba i Eulerova jednadžba u dinamici fluida, Einsteinove jednadžbe polja opće relativnosti su dobro poznate nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ponekad primjena Lagrangeove jednadžbe na varijabilni sustav može rezultirati sustavom nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

Koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi?

• Diferencijalna jednadžba koja ima samo linearne izraze nepoznate ili ovisne varijable i njene derivate poznata je kao linearna diferencijalna jednadžba. Nema termin s zavisnom varijablom indeksa većim od 1 i ne sadrži više njegovih derivata. Ne može imati nelinearne funkcije poput trigonometrijskih funkcija, eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije u odnosu na zavisnu varijablu. Svaka diferencijalna jednadžba koja sadrži gore navedene pojmove je nelinearna diferencijalna jednadžba.

• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi stvaraju vektorski prostor, a diferencijalni operator je također linearni operator u vektorskom prostoru.

• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi relativno su jednostavnija i postoje općenita rješenja. Za nelinearne jednadžbe u većini slučajeva opće rješenje ne postoji i rješenje može biti specifično za problem. To čini rješenje mnogo težim od linearnih jednadžbi.