Razlika između ortogonalnog i ortonormalnog

Ortogonalno vs ortonormalno

U matematici se dvije riječi ortogonalno i orthonormal često koriste zajedno s skupom vektora. Ovdje se izraz "vektor" koristi u smislu da je element vektorskog prostora - algebarska struktura koja se koristi u linearnoj algebri. Za našu raspravu razmotrit ćemo prostor unutarnjeg proizvoda - vektorski prostor V zajedno s unutarnjim proizvodom [] definirano na V.

Kao primjer, za unutarnji proizvod, prostor je skup svih trodimenzionalnih vektora položaja, zajedno s uobičajenim točkasti proizvod.

Što je ortogonalno?

Neprazna podskupina S unutarnjeg prostora proizvoda V kaže se da je ortogonalno, ako i samo ako za svakog izrazit u, v u S, [u, v] = 0; tj. unutarnji proizvod u i v jednaka je nula skalara u unutarnjem prostoru proizvoda.

Na primjer, u skupu svih trodimenzionalnih vektora položaja, to je ekvivalentno za svaku od tih par pozicija vektora položaja p i q u S, p i q okomito su jedna na drugu. (Imajte na umu da je unutarnji vektor u ovom vektorskom prostoru točkast proizvod. Također, produkt točaka dva vektora jednak je 0 ako i samo ako su dva vektora okomita jedan na drugi.)

Razmislite o setu S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), što je podskup trodimenzionalnih položaja vektora. Primjetite da je (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 i (0,2,0).(0,0,5) = 0. Dakle, skup S je ortogonalno. Konkretno, za dva vektora se navodi da su pravokutni ako je njihov unutarnji proizvod 0. Stoga je svaki par vektora u Sje ortogonalno.

Što je ortonormalno?

Neprazna podskupina S unutarnjeg prostora proizvoda V kaže se da je ortonormalno ako i samo ako S je ortogonalno i za svaki vektor u u S, [u, u] = 1. Stoga se vidi da je svaki ortonormalni skup ortogonalni, ali ne i obrnuto.

Na primjer, u skupu svih trodimenzionalnih vektora položaja, to je ekvivalentno za svaku od tih par pozicija vektora položaja p i q u S, p i q okomite su jedna na drugu i za svaku p u S, | P | = 1. To je zato što je uvjet [p, p] = 1 smanjuje se na p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, što je ekvivalent | P | = 1. Stoga, s obzirom na pravokutni skup, uvijek možemo oblikovati odgovarajući ortonormalni skup dijeljenjem svakog vektora na njegovu veličinu.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) ortonormalni je podskup skupa svih trodimenzionalnih vektora položaja. Lako je vidjeti da je dobiven dijeljenjem svakog od vektora u skupu S, po njihovim veličinama.

Koja je razlika između ortogonalnog i ortonormalnog?

• Neprazna podskupina S unutarnjeg prostora proizvoda V kaže se da je ortogonalno, ako i samo ako za svaki poseban u, v u S, [u, v] = 0. Međutim, to je ortonormalno, ako i samo ako je dodatni uvjet - za svaki vektor u u S, [u, u] = 1 je zadovoljan.
• Bilo koji ortonormalni skup je ortogonalni, ali ne i obrnuto.
• Bilo koji ortogonalni skup odgovara jedinstvenom ortonormalnom skupu, ali ortonormalni skup može odgovarati mnogim ortogonalnim skupima.