Razlika između Power Series i Taylor Series

Power Series vs Taylor Series

U matematici, pravi slijed je uređeni popis stvarnih brojeva. Formalno, to je funkcija od skupa prirodnih brojeva do skupa realnih brojeva. Ako _nje n^th izraz sekvence, označujemo niz sa ili sa ₁,₂,…, A_n,… .Za primjer, razmotrite niz 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,…. Može se označiti kao 1 / n.

Niz je moguće definirati nizom. Serija je zbroj pojmova u nizu. Stoga je za svaki niz povezan pridruženi niz i obrnuto. Ako je a_n je niz koji se razmatra, tada se niz formiran tim nizom može predstaviti kao:                                           

 Dakle, u gornjem primjeru pridruženi niz je 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Kao što imena sugeriraju, serija snage je posebna vrsta serija i ona se široko koristi u numeričkoj analizi i srodnom matematičkom modeliranju. Taylor serija je posebna serija snage koja pruža alternativan i jednostavan za manipuliranje način predstavljanja dobro poznatih funkcija.

Što je Power serija?

Serija moći je niz oblika

    

koji se konvergira (moguće) za neki interval u koji je središte c. Koeficijenti _n mogu biti stvarni ili složeni brojevi i neovisni su o x; tj. lutka varijabla.

Na primjer, postavljanjem _n= 1 za svakog n, i c = 0, niz snaga 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Se dobiva. Lako je promatrati da kada je x ε (-1,1), ovaj niz snaga konvergira u 1 / (1-x).          

Serija snaga konvergira kada x = c. Druge vrijednosti x za koje se niz snaga konvergira uvijek će imati oblik otvorenog intervala u koji je usmjeren c. To je, bit će vrijednost 0≤ R ≤ ∞ takav da za svakog x zadovoljavajući | x-c | ≤R, serija snage je konvergentna i za svaku x  zadovoljavajući | x-c |>R, serija snage je divergentna. Ova vrijednost R naziva se radijus konvergencije niza snaga (R može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost ili pozitivnu beskonačnost).

Serije snage mogu se dodavati, oduzimati, množiti i dijeliti pomoću sljedećih pravila. Razmotrite dvije serije snage:       

   

                               .

Zatim,                 

tj. kao što su pojmovi zbrajani ili oduzimani zajedno. Također je moguće množiti i dijeliti dvije serije snage koristeći identitet,

Što je Taylor serija?

Taylor serija je definirana za funkciju f(x) koji je u intervalu beskrajno različit. pretpostaviti f(x) može se razlikovati na intervalu u čijem je središtu c. Zatim je snaga snaga koju daje

                                                                                                                                

naziva se Taylor serija proširenje funkcije f(x) o c. (Ovdje f^(N)(c) Označiti n^th izvedenica na x = c). U numeričkoj analizi, konačni broj izraza u ovom beskonačnom proširenju koristi se za izračunavanje vrijednosti u točkama u kojima je serija konvergentna izvornoj funkciji.

Funkcija f(x) kaže se da je analitički u intervalu (a, b), ako je za svaki x ε (a, b), Taylorov niz od f(x) konvergira u funkciju f(x). Na primjer, 1 / (1-x) je analitički na (-1,1), od kada je Taylorova ekspanzija 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Konvergira u funkciju u tom intervalu i e^x  je analitička svugdje, još od Taylorove serije e^xkonvergira u e^x za svaki stvarni broj x.

Koja je razlika između Power serija i Taylor serija?

1. Taylor serija je posebna klasa snaga, definirana samo za funkcije koje su beskonačno različite u nekom otvorenom intervalu.

2. Taylor serije imaju poseban oblik

        

budući da niz moći može biti bilo koji niz oblika