Razlika između definitivnih i neodređenih integrala

Izračun je važna grana matematike, a diferencijacija igra kritičnu ulogu u računici. Inverzni proces diferencijacije poznat je kao integracija, a inverzni je poznat kao integral, ili jednostavno rečeno, inverzija diferencijacije daje integral. Na osnovu rezultata dobivaju se integrali podijeljeni u dvije klase, tj. Određene i neodređene integrale.

Određeni integralni

Definitivni integral od f (x) je BROJ i predstavlja područje ispod krivulje f (x) iz X = a do x = b.

Određeni integral ima gornju i donju granicu integrala, a zove se definitivan, jer na kraju problema imamo broj - to je definitivan odgovor.

Neodređeni integralni

Neodređeni integral od f (x) je FUNKCIJA i odgovara na pitanje: „Koja funkcija kada se diferencira daje f (x)?”

S neodređenim integralom ovdje nema gornjih i donjih granica integrala, a ono što ćemo dobiti je odgovor koji još uvijek postoji xu njemu, a imat će i konstantu (obično se označava sa C) u tome.

Neodređeni integral obično daje opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Neodređeni integral je općenitiji oblik integracije i može se protumačiti kao anti-derivat razmatrane funkcije.

Pretpostavimo diferencijaciju funkcija F dovodi do druge funkcije f, a integracija f daje integral. Simbolično, ovo je zapisano kao

F (x) = ∫ƒ (x) dx

ili

F = ∫ƒ dx

gdje oboje F i ƒ su funkcije x, i F razlikuje se. U gornjem obliku naziva se Reimannov integral i rezultirajuća funkcija prati proizvoljnu konstantu.

Neodređeni integral često proizvodi obitelj funkcija; dakle, integral je neodređen.

Integrali i proces integracije su u središtu rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Međutim, za razliku od koraka u diferencijaciji, koraci u integraciji ne slijede uvijek jasnu i standardnu ​​rutinu. Povremeno vidimo da rješenje ne može biti eksplicitno izraženo u elementarnoj funkciji. U tom se slučaju analitičko rješenje često daje u obliku neodređenog integrala.

Temeljni teorem kalkulusa

Određeni i neodređeni integral povezani su Temeljnim teoremom izračuna kako slijedi: Da bi izračunali određeni integral, naći neodređeni integral (poznata i kao anti-derivat) funkcije i procjenjujte na krajnjim točkama X = a i x = b.

Razlika između određenih i neodređenih integrala bit će evidentna nakon što ocijenimo integrale za istu funkciju.

Razmotrimo slijedeći integral:

U REDU. Učinimo oboje i vidimo razliku.

Za integraciju moramo dodati jedan indeks koji nas dovodi do sljedećeg izraza:

U ovom trenutku vremena C za nas je samo konstanta. Dodatni podaci su potrebni kako bi se utvrdila točna vrijednost C.

Procijenimo isti integral u njegovom određenom obliku, tj. S uključenim gornjim i donjim granicama.

Grafički gledano, sada računamo područje ispod krivulje f (x) = y³ između y = 2 i y = 3.

Prvi korak u ovoj evaluaciji isti je kao neograničeno integralno vrednovanje. Jedina je razlika što ovaj put okolo ne dodajemo konstantu C.

Izraz u ovom slučaju izgleda na sljedeći način:

Ovo zauzvrat vodi do:

U osnovi smo supstituirali 3, a zatim 2 u izrazu i dobili razliku između njih.

Ovo je definitivna vrijednost za razliku od upotrebe konstante C ranije.

Istražimo konstantni faktor (s obzirom na neodređeni integral) malo detaljnije.

Ako je razlika od y³ je 3y², zatim

∫3y²dy = y³

Međutim, 3y² mogle bi biti različiti u mnogim izrazima koji neki uključuju y³-5, y³+7, itd. ... To podrazumijeva da preokret nije jedinstven jer konstanta nije uzeta u obzir tijekom rada.

Dakle općenito, 3y² je razlika od y³+C gdje C je li neka konstanta. Usput, C je poznat kao "konstanta integracije".

To pišemo kao:

∫ 3y².dx = y³ + C

Tehnike integracije za neodređeni integral, poput pretraživanja tablice ili Risch integracije, mogu dodati nove diskontinuitete tijekom procesa integracije. Ti se novi diskontinuiteti pojavljuju jer anti-derivati ​​mogu zahtijevati uvođenje složenih logaritama.

Složeni logaritmi imaju prekid skoka kada argument prelazi negativnu stvarnu os, a algoritmi integracije ponekad ne mogu pronaći predstavu gdje se ovi skokovi poništavaju.

Ako se određeni integral procjenjuje najprije izračunavanjem neodređenog integralnog sastava, a zatim zamjenom granica integracije u rezultat, moramo biti svjesni da neograničena integracija može proizvesti diskontinuitete. Ako se to dogodi, moramo dodatno istražiti i diskontinuitete u intervalu integracije.