Razlika između racionalnih i iracionalnih brojeva

Izraz “brojevi” donosi nam na pamet ono što se općenito klasificira kao pozitivne cjelobrojne vrijednosti veće od nule. Ostale klase brojeva uključuju cijeli brojevi i frakcije, kompleks i stvarni brojevi I također negativne cjelobrojne vrijednosti.

Proširivši klasifikacije brojeva dalje, susrećemo se racionalan i iracionalan brojevi. Racionalni broj je broj koji se može napisati kao ulomak. Drugim riječima, racionalni broj može se napisati kao omjer dva broja.

Razmotrite, primjerice, broj 6. Može se napisati kao omjer dva broja viz. 6 i 1, što dovodi do omjera 6/1. Također, 2/3, koji je napisan kao ulomak, racionalan je broj.

Racionalni broj možemo, prema tome, definirati kao broj napisan u obliku ulomka, pri čemu su i brojnik (broj na vrhu) i nazivnik (broj na dnu) cijeli brojevi. Prema definiciji, stoga je svaki cijeli broj ujedno i racionalan broj.

Omjer dva velika broja kao što su (129367871)/(547724863) također bi bio primjer racionalnog broja iz jednostavnog razloga što su i brojnik i nazivnik cijeli brojevi.

Suprotno tome, bilo koji broj koji se ne može izraziti u obliku frakcije ili omjera naziva se iracionalnim. Najčešći je navod iracionalnog broja √2 (1.414213…). Drugi popularni primjer iracionalnog broja je numerička konstanta π (3.141592 ... ).

Iracionalni broj može se napisati kao decimalni broj, ali ne i kao djelić. Iracionalni brojevi se ne koriste često u svakodnevnom životu, iako postoje na linijskoj brojci. Između njih postoji beskonačan broj iracionalnih brojeva 0 i 1 na brojčanoj liniji. Iracionalni broj ima beskrajne neponovljive znamenke desno od decimalne točke.

Imajte na umu da je često citirana vrijednost od 22/7 za konstantu π je u stvari samo jedna vrijednost π. Po definiciji, opseg kruga podijeljen s dva puta njegov polumjer je vrijednost π. To dovodi do više vrijednosti od π, uključujući, ali ne ograničavajući se na njih, 333/106, 355/113 i tako dalje1.

Samo kvadratni korijeni kvadratnih brojeva; tj. četvrtasti korijeni savršeni kvadrati su racionalni.

√1= 1 (Rational)

√2 (Iracionalno)

√3 (Iracionalno)

√4 = 2 (Rational)

√5, √6, √7, √8 (Iracionalno)

√9 = 3 (Racionalno) i tako dalje.

Nadalje, to primjećujemo, samo nkorijenima nMoći su racionalne. Dakle, 6. korijen od 64 je racionalan, jer 64 je 6. moć, naime 6. snaga od 2. Ali 6. korijen od 63 je iracionalna. 63 nije savršen 6th vlast.

Decimalna reprezentacija iracionalnih neizbježno se pojavljuje i daje zanimljive rezultate.

Kad izrazimo a racionalan broja kao decimalnog znaka, tada će biti decimalni broj točno (kao u 1/5= 0,20) ili će biti netočan (kao u, 1/3 ≈ 0,3333). U oba slučaja postojat će predvidljiv uzorak znamenki. Imajte na umu da kada iracionalan broj se izražava kao decimalni broj, tada će jasno biti netačan, jer bi u suprotnom broj bio racionalan.

Štoviše, neće biti predvidljivog uzorka znamenki. Na primjer,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Sada se s racionalnim brojevima povremeno susrećemo 1/11 = 0,0909090.

Upotreba oba znaka jednakosti (=) i tri točke (elipsa) podrazumijeva da, iako to nije moguće izraziti 1/11 točno kao decimalni broj, još uvijek ga možemo približiti s onoliko decimalnih znamenki koliko nam je dopušteno približiti se 1/11.

Dakle, decimalni oblik od 1/11 smatra se netačnim. Na isti način, decimalni oblik od  ¼ što je 0,25, tačno je.

Dolazeći u decimalni oblik za iracionalne brojeve, oni će uvijek biti netačni. Nastavljajući s primjerom √2, kad pišemo √2 = 1.41421356237… (Imajte na umu uporabu elipse), to odmah znači da nema decimalnog broja za √2 bit će točan. Nadalje, neće biti predvidljivog uzorka znamenki. Opet, koristeći koncepte numeričkih metoda, možemo racionalno aproksimirati za onoliko decimalnih znamenki do točke koja nam je blizu √2.

Bilo kakva napomena o racionalnim i iracionalnim brojevima ne može se završiti bez obveznog dokaza zašto je √2 iracionalan. Pri tome također objašnjavamo, klasični primjer dokaz kontradiction.

Pretpostavimo da je √2 racionalan. To nas dovodi do toga da ga predstavljamo kao omjer dva cijeli broja, recimo p i q.

√2 = p / q

Nepotrebno je reći, p i q nemaju zajedničke faktore, jer da postoje zajednički faktori, otkazali bismo ih iz brojača i nazivnika.

Skidajući obje strane jednadžbe, završimo s,

2 = str2 / q2

To se može prikladno napisati kao,

p2 = 2q2

Posljednja jednadžba to sugerira p2 je jednolik. To je moguće samo ako p sama je jednolika. To zauzvrat podrazumijeva to p2 je djeljiv na 4. Stoga, q2 i posljedično q mora biti ujednačeno. Tako p i q obojica su čak i što je u suprotnosti s našom početnom pretpostavkom da nemaju zajedničkih faktora. Tako, √2 ne može biti racionalan. Q.E.D.