Razlika između derivativne i diferencijalne

Derivativni vs diferencijalni
 

U diferencijalnom računu, izvedenica i diferencijal funkcije su usko povezani, ali imaju vrlo različita značenja, a koriste se za predstavljanje dva važna matematička objekta povezana s diferenciranim funkcijama.

Što je izvedenica?

Derivat neke funkcije mjeri brzinu kojom se vrijednost funkcije mijenja kako se mijenja njezin ulaz. U funkcijama s više varijabli promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti neovisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima bira određeni smjer i funkcija se u tom pravcu razlikuje. Taj se derivat naziva usmjereni derivat. Djelomični derivati ​​posebna su vrsta usmjerenih derivata.

Derivat funkcije vektorske vrijednosti f može se definirati kao granica gdje god to konačno postoji. Kao što smo već spomenuli, to nam daje stopu porasta funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju jednostruke funkcije, ovo se svodi na dobro poznatu definiciju derivata,  

Na primjer, je svugdje različit, a izvedenica je jednaka granici, , što je jednako . Derivati ​​funkcija poput   postoje svugdje. Odgovaraju jednake funkcijama .                                                                                

Ovo je poznato kao prvi derivat. Obično je prvi derivat funkcije f označava se sa f ⁽¹⁾. Sada pomoću ove oznake, moguće je definirati derivate višeg reda. je derivat usmjerenja drugog reda i koji označava n^th izveden od f ⁽ⁿ⁾ za svakoga n, ,  definira n^th derivat.

Što je razlika?

Diferencijal funkcije predstavlja promjenu funkcije s obzirom na promjene u neovisnoj varijabli ili varijabli. U uobičajenom nazivu, za zadanu funkciju f jedne varijable x, ukupni diferencijal reda 1 df je Dan od, . To znači da za beskonačno male promjene u x(tj. dx), postojat će  f ⁽¹⁾(x) dx promjena u f.

Korištenjem ograničenja može se ova definicija završiti na sljedeći način. Pretpostavimo ∆x je promjena u x na proizvoljnoj točki x i ∆f je odgovarajuća promjena u funkciji f. Može se pokazati da je ∆f = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, gdje je the pogreška. Sad, granica ∆x →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (koristeći prethodno navedenu definiciju izvedenice) i, dakle, ∆x →0^ε/_Δx= 0. Stoga je moguće zaključiti da je ∆x →0ε = 0. Sada, označavajući ∆x →0 ∆f kao df i ∆x →0 ∆x kao dx definicija diferencijala dobiva se rigorozno. 

Na primjer, razlika funkcije je .

U slučaju funkcija dvije ili više varijabli, ukupni diferencijal funkcije definira se kao zbroj diferencijala u pravcima svake neovisne varijable. Matematički se može navesti kao .