Razlika između jednadžbe razlika i diferencijalne jednadžbe

Jednadžba razlika i diferencijalna jednadžba

Prirodni fenomen može se matematički opisati funkcijama niza neovisnih varijabli i parametara. Pogotovo kad su izraženi funkcijom prostornog položaja i vremena što rezultira jednadžbama. Funkcija se može promijeniti s promjenom neovisnih varijabli ili parametara. Beskonačno mala promjena koja se događa u funkciji kada se promijeni jedna od njenih varijabli naziva se derivatom te funkcije.

Diferencijalna jednadžba je svaka jednadžba koja sadrži derivate funkcije kao i samu funkciju. Jednostavna diferencijalna jednadžba je Newtonov Drugi zakon kretanja. Ako se objekt mase m kreće ubrzanjem 'a' i na njega djeluje silom F, tada Newtonov Drugi zakon govori da je F = ma. I ovdje 'a' varira s vremenom, možemo prepisati 'a' kao; a = dv / dt; v je brzina. Brzina je funkcija prostora i vremena, to jest v = ds / dt; dakle 'a' = d²e / dt².

Imajući to u vidu, možemo napisati Newtonov drugi zakon kao diferencijalnu jednadžbu;

'F' kao funkcija v i t - F (v, t) = mdv / dt, ili

'F' kao funkcija s i t - F (s, ds / dt, t) = m d²e / dt²

Postoje dvije vrste diferencijalnih jednadžbi; obična diferencijalna jednadžba, skraćeno ODE ili djelomična diferencijalna jednadžba, skraćeno PDE. Obična diferencijalna jednadžba će u sebi imati obične derivate (derivate samo jedne varijable). Djelomična diferencijalna jednadžba će u sebi imati diferencijalne derivate (derivate više od jedne varijable).

npr F = m d²e / dt² je ODE, a α² d²u / dx² = du / dt je PDE, ima derivate od t i x.

Jednadžba razlike je jednaka diferencijalnoj jednadžbi, ali je promatramo u različitom kontekstu. U diferencijalnim jednadžbama, neovisna varijabla poput vremena razmatra se u kontekstu sustava kontinuiranog vremena. U diskretnom vremenskom sustavu funkciju nazivamo jednadžbom razlike.

Jednadžba razlike je funkcija razlika. Razlike u neovisnim varijablama su tri vrste; slijed broja, diskretni dinamički sustav i ponovljena funkcija.

U slijedu brojeva promjena se generira rekurzivno koristeći pravilo da svaki broj u nizu poveže s prethodnim brojevima u nizu.

Jednadžba razlike u diskretnom dinamičkom sustavu uzima neki diskretni ulazni signal i proizvodi izlazni signal.

Jednadžba razlike je iterirana mapa za ponovljenu funkciju. Npr., Y₀, f (y₀), f (f (y)₀)), f (f (f (y)₀))), ... .je slijed ponavljane funkcije. F (y)₀) prvi je iterat y₀. K-ti iterat će biti označen sa f^k(y₀).