Razlika između integracije i zbrajanja

Integracija vs sumiranje
 

U gornjoj srednjoškolskoj matematici integracija i zbrajanje često se nalaze u matematičkim operacijama. Naizgled se koriste kao različiti alati i u različitim situacijama, ali imaju vrlo prisan odnos.

Više o zbrajanju

Zbir je operacija dodavanja niza brojeva, a operacija je često označena grčkim slovom velikim slovom Σ. Koristi se za skraćivanje zbrajanja i jednaka je zbroju / ukupnom nizu. Često se koriste za predstavljanje serija, što su u osnovi bezgranične sekvence sažeto. Također se mogu koristiti za označavanje zbroja vektora, matrica ili polinoma.

Zbir se obično izvodi za niz vrijednosti koje se mogu predstaviti općim pojmom, kao što je niz koji ima zajednički pojam. Početna i krajnja točka zbrajanja su poznata kao donja i gornja granica zbrajanja.

Na primjer, zbroj niza a₁, ₂, ₃, ₄, …, A_n je₁ + ₂ + ₃ +… + A_n koja se lako može predstaviti pomoću notacije zbrajanja kao ∑ⁿ_{i = 1 ja}; i zove se indeks zbrajanja.

Mnoge varijacije koriste se za zbrajanje na temelju aplikacije. U nekim se slučajevima gornja i donja granica mogu dati kao interval ili raspon, poput ∑_{1≤i≤100 ja} i ∑_{i∈ [1100] ja}. Ili se može dati kao skup brojeva poput ∑_{i∈P ja} , gdje je P definirani skup.

U nekim se slučajevima mogu koristiti dva ili više sigma znakova, ali oni se mogu generalizirati na sljedeći način; Σ_j Σ_k jK = ∑_{j, k jK}.

Također, zbroj slijedi mnoga algebarska pravila. Budući da je ugrađena operacija dodatak, mnoga uobičajena pravila algebre mogu se primijeniti na same zbrojeve i na pojedinačne izraze prikazane zbrajanjem.

Više o integraciji

Integracija je definirana kao obrnuti proces diferencijacije. Ali u svom se geometrijskom pogledu može smatrati i područjem zatvorenim krivuljom funkcije i osi. Prema tome, proračun područja daje vrijednost određenog integralnog kao što je prikazano na dijagramu.

Izvor slike: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Vrijednost određenog integralnog oblika zapravo je zbroj malih traka unutar krivulje i osi. Površina svake trake je visina × širina u točki na predmetnoj osi. Širina je vrijednost koju možemo odabrati, recimo ∆x. A visina je otprilike vrijednost funkcije, recimo f(x_ja). Iz dijagrama je vidljivo da su manje trake bolje da se trake stane unutar ograničenog područja, a time i bolja aproksimacija vrijednosti..

Dakle, općenito definitivni integral ja, između točaka a i b (tj. u intervalu [a, b] gdje je aja ≅ f(x₁) Δx + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, gdje je n broj traka (n = (b-a) / ∆x). Ova sumacija područja može se lako predstaviti korištenjem notacije zbrajanja kao ja ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_ja) Δx. Kako je aproksimacija bolja kada je ∆x manji, možemo izračunati vrijednost kada je ∆x → 0. Stoga je razumno reći ja = lim_{Δx → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_ja) Δx.

Kao generalizacija iz gornjeg koncepta, možemo odabrati ∆x na temelju razmatranog intervala indeksiranog i (odabirom širine područja na temelju položaja). Tada stižemo

ja= lim_{Δx → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_ja) ∆x_ja = ∫^b f(X) dx

To je poznato kao Reimannova integrala funkcije f(x) u intervalu [a, b]. U ovom su slučaju a i b poznati kao gornja i donja granica integral. Reimannov integral osnovni je oblik svih metoda integracije.

U osnovi, integracija je zbroj područja kada je širina pravokutnika beskonačna.

Koja je razlika između integracije i zbrajanja?

• Zbir je sažimanje niza brojeva. Obično se zbroj daje u ovom obliku ∑ⁿ_{i = 1 ja} kada pojmovi u nizu imaju obrazac i mogu se izraziti općim pojmom.

• Integracija je u osnovi područje ograničeno krivuljom funkcije, osi te gornjim i donjim granicama. To se područje može dati kao zbroj mnogo manjih područja koja su uključena u ograničeno područje.

• Zbir uključuje diskretne vrijednosti s gornjim i donjim granicama, dok integracija uključuje kontinuirane vrijednosti.

• Integracija se može protumačiti kao poseban oblik zbrajanja.

• U numeričkim metodama računanja integracija se uvijek izvodi kao zbrajanje.