Razlika između Laplaceovih i Fourierovih transformacija

Laplace vs Fourier Transforms
 

I Laplasova i Fourierova transformacija su integralne transformacije, koje se najčešće koriste kao matematičke metode za rješavanje matematički modeliranih fizičkih sustava. Postupak je jednostavan. Složen matematički model pretvara se u jednostavniji, rješiv model pomoću integralne transformacije. Jednom kada se riješi jednostavniji model, primjenjuje se inverzna integralna transformacija, koja bi rješenje dala izvornom modelu.

Na primjer, budući da većina fizičkih sustava rezultira u diferencijalnim jednadžbama, oni se mogu pretvoriti u algebarske jednadžbe ili diferencirane jednadžbe nižeg stupnja lako rješivih pomoću integralne transformacije. Tada će rješavanje problema postati lakše.

Što je Laplaceova transformacija?

S obzirom na funkciju f (t) stvarne varijable t, njegova Laplasova transformacija definirana je integralom (kad god postoji), što je funkcija složene varijable a. Obično se označava sa L f (t). Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(a) uzima se kao funkcija f (t) na takav način da L f (t) = F(a), a u uobičajenom matematičkom zapisu pišemo, L ^-1F(a) = f (t).Inverzna transformacija može se učiniti jedinstvenom ako nijedne funkcije nisu dopuštene. Mogu se identificirati ova dva kao linearni operatori definirani u funkcionalnom prostoru, a lako je i to vidjeti, L ^-1L f (t) = f (t), ako su null funkcije nisu dopuštene.

Sljedeća tablica navodi Laplaceove transformacije nekih od najčešćih funkcija.

Što je Fourierova transformacija?

S obzirom na funkciju f (t) stvarne varijable t, njegova Laplasova transformacija definirana je integralom (kad god postoji), a obično se označava sa F f (t). Inverzna transformacija F ^-1F(α) daje integral . Fourierova transformacija je također linearna i može se smatrati operatorom definiranim u funkcionalnom prostoru.

Korištenjem Fourierove transformacije izvorna se funkcija može napisati na sljedeći način pod uvjetom da funkcija ima samo ograničen broj diskontinuiteta i apsolutno je integrabilna.

Koja je razlika između Laplaceovih i Fourierovih transformacija?

• Fourierova transformacija funkcije f (t) definira se kao , dok je definirano da je laplasova transformacija .
• Fourierova transformacija definirana je samo za funkcije definirane za sve stvarne brojeve, dok Laplaceova transformacija ne zahtijeva definiranje funkcije na postavljenim negativnim realnim brojevima.
• Fourierova transformacija poseban je slučaj Laplasove transformacije. Može se vidjeti kako se oboje podudaraju za negativne stvarne brojeve. (tj. uzeti a u Laplaceu biti iα + β gdje α i β stvarni su takvi da e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Svaka funkcija koja ima Fourierovu transformaciju imat će Laplaceovu transformaciju, ali ne i obrnuto.