Razlika između slučajnih varijabli i distribucije vjerojatnosti

Nasumične varijable i raspodjela vjerojatnosti

Statistički eksperimenti su slučajni eksperimenti koji se mogu ponavljati u nedogled s poznatim skupom rezultata. I slučajne varijable i distribucija vjerojatnosti povezane su s takvim eksperimentima. Za svaku slučajnu varijablu postoji pridružena raspodjela vjerojatnosti definirana funkcijom koja se naziva kumulativna razdiobena funkcija.

Što je slučajna varijabla?

Nasumična varijabla je funkcija koja rezultatima statističkog eksperimenta dodjeljuje numeričke vrijednosti. Drugim riječima, to je funkcija definirana iz uzorka prostora statističkog eksperimenta u skup realnih brojeva.

Na primjer, razmislite o slučajnom eksperimentu prebacivanja novčića dva puta. Mogući ishodi su HH, HT, TH i TT (H - glave, T - priče). Neka je varijabla X broj glava opaženih u pokusu. Tada X može uzeti vrijednosti 0, 1 ili 2 i to je slučajna varijabla. Ovdje će slučajna varijabla X preslikati skup S = HH, HT, TH, TT (prostor uzorka) u skup 0, 1, 2 na takav način da se HH preslika na 2, HT i TH preslikani su u 1, a TT mapirani u 0. U notaciji funkcije, to se može napisati kao, X: S → R gdje je X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 i X ( TT) = 0.

Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretna i kontinuirana, prema tome, broj mogućih vrijednosti za koje slučajna varijabla može pretpostaviti je najviše izračunat ili ne. U prethodnom primjeru slučajna varijabla X je diskretna slučajna varijabla jer je 0, 1, 2 konačan skup. Sada razmotrimo statistički eksperiment pronalaska težine učenika u razredu. Neka je Y slučajna varijabla definirana kao težina učenika. Y možete uzeti bilo koju stvarnu vrijednost unutar određenog intervala. Dakle, Y je kontinuirana slučajna varijabla.

Što je raspodjela vjerojatnosti?

Raspodjela vjerojatnosti je funkcija koja opisuje vjerojatnost slučajne varijable koja uzima određene vrijednosti.

Funkcija koja se zove funkcija kumulativne raspodjele (F) može se definirati od skupa realnih brojeva do skupa realnih brojeva kao F (x) = P (X ≤ x) (vjerojatnost da je X manja ili jednaka x) za svaki mogući ishod x. Sada se funkcija kumulativne raspodjele X u prvom primjeru može zapisati kao F (a) = 0, ako je a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

U slučaju diskretnih slučajnih varijabli, funkcija se može definirati iz skupa mogućih ishoda do skupa realnih brojeva na takav način da je ƒ (x) = P (X = x) (vjerojatnost X je jednaka x) za svaki mogući ishod x. Ta se posebna funkcija ƒ naziva funkcija vjerojatnosti mase slučajne varijable X. Sada se funkcija vjerojatnosti mase X u prvom konkretnom primjeru može napisati kao ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, a ƒ (x) = 0 u protivnom. Dakle, funkcija mase vjerojatnosti zajedno s funkcijom kumulativne raspodjele opisat će raspodjelu vjerojatnosti X u prvom primjeru.

U slučaju kontinuiranih slučajnih varijabli, funkcija koja se zove funkcija gustoće vjerojatnosti (ƒ) može se definirati kao ƒ (x) = dF (x) / dx za svaki x gdje je F funkcija kumulativne raspodjele kontinuirane slučajne varijable. Lako je vidjeti da ova funkcija zadovoljava ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcija gustoće vjerojatnosti zajedno s funkcijom kumulativne raspodjele opisuje raspodjelu vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Na primjer, normalna raspodjela (koja je kontinuirana raspodjela vjerojatnosti) opisana je korištenjem funkcije gustoće vjerojatnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).