Razlika između Riemann Integrala i Lebesgue Integrala

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integracija je glavna tema kalkulusa. U širem smislu, integracija se može posmatrati kao obrnuti proces diferencijacije. Kada modelirate probleme iz stvarnog svijeta, lako je pisati izraze koji uključuju izvedenice. U takvoj situaciji potrebna je operacija integracije da bi se pronašla funkcija koja je dala određeni derivat.

S drugog kuta, integracija je proces koji sažima produkt funkcije ƒ (x) i δx, gdje δx teži određenoj granici. Zbog toga simbol integracije koristimo kao ∫. Simbol ∫ je u stvari ono što dobivamo istezanjem slova s ​​na zbroj.

Riemann Integral

Razmotrimo funkciju y = ƒ (x). Integral y između i b, gdje i b pripadaju skupu x, piše se kao _b∫ƒ (x) dx = [F(x)]_→b = F(b) - F(). To se naziva određeni integral jedinstvene vrijednosti i kontinuirane funkcije y = ƒ (x) između a i b. Ovo daje područje ispod krivulje između i b. To se također naziva Riemannov integral. Riemannov integral stvorio je Bernhard Riemann. Riemannov integral kontinuirane funkcije zasnovan je na jordanskoj mjeri, stoga je definiran i kao granica Riemannovih zbrojeva funkcije. Za stvarnu vrijednost vrijednosti definiranu na zatvorenom intervalu, Riemannov integral funkcije s obzirom na particiju x₁, x₂,… , x_n definirano na intervalu [a, b] i t₁, t₂,…, T_n, gdje je x_ja ≤ t_ja ≤ x_{i + 1} za svaki i ε 1, 2,…, n, Riemannov zbroj definiran je kao Σ_{i = o do n-1} ƒ (t_ja)(x_{i + 1} - x_ja).

Lebesgue Integral

Lebesgue je druga vrsta integrala koja pokriva širok raspon slučajeva nego što to čini Riemannov integral. Integral lebege uveo je Henri Lebesgue 1902. Integracija Legesguea može se smatrati generalizacijom Riemannove integracije.

Zašto trebamo proučiti još jedan integral?

Razmotrimo karakterističnu funkciju ƒ_{A (x) = 0 ako, x nije ε A}^{1 ako je, x ε A} na skupu A. Zatim konačna linearna kombinacija karakterističnih funkcija, koja je definirana kao F(x) = Σ a_jaƒE_ja(x) naziva se jednostavna funkcija ako E_ja mjerljivo je za svaki i. Lebesgue integral of F(x) preko E označava se sa _E∫ ƒ (x) dx. Funkcija F(x) nije Riemannov integrabilni. Stoga je Lebesgueov integralni izraz Riemannov integral koji ima određena ograničenja u funkcijama koje treba integrirati.