Razlika između asocijativnog i komutativnog

Associative vs Commutative
 

U našem svakodnevnom životu moramo koristiti brojeve kad god moramo dobiti mjeru nečega. U trgovini, benzinskoj crpki, pa čak i u kuhinji, trebamo zbrajati, oduzimati i množiti dvije ili više količina. Iz naše prakse, te proračune izvodimo bez napora. Nikada ne primjećujemo niti postavljamo pitanje zašto radimo ove operacije na ovakav način. Ili se ovi proračuni ne mogu izvesti na drugi način. Odgovor se krije u načinu na koji su te operacije definirane u matematičkom polju algebre.

U algebri je operacija koja uključuje dvije količine (poput dodavanja) definirana kao binarna operacija. Točnije, to je operacija između dva elementa iz skupa i ti elementi se nazivaju "operand". Mnoge operacije iz matematike, uključujući ranije spomenute aritmetičke operacije i one koje se susreću u teoriji skupova, linearnoj algebri i matematičkoj logici, mogu se definirati kao binarne operacije.

Postoji skup pravila upravljanja koja se odnose na određenu binarnu operaciju. Asocijativna i komutativna svojstva dva su temeljna svojstva binarnih operacija.

Više o komutativnom vlasništvu

Pretpostavimo da se na elementima izvodi neka binarna operacija, označena simbolom ⊗ i B. Ako redoslijed operanda ne utječe na rezultat operacije, tada se kaže da je operacija komutativna. tj. ako ⊗ B = B ⊗ onda je operacija komutativna.

Aritmetičke operacije dodavanja i množenja su komutativne. Redoslijed brojeva sabranih ili pomnoženih zajedno ne utječe na konačni odgovor:

+ B = B +     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

× B = B ×      ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Ali u slučaju podjele promjena u redoslijedu daje uzajamnost drugog, a pri oduzimanju promjena daje negativnost drugog. Stoga,

- B ≠ B -      ⇒ 4 - 5 = -1 i 5 - 4 = 1

÷ B ≠ B ÷      ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 i 5 ÷ 4 = 1,25 [u ovom slučaju ,B ≠ 1 i 0]

Zapravo, oduzimanje se kaže da je antikomutativno; gdje - B = - (B - ).

Također, logičke poveznice, konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija također su komutativne. Funkcije istine su također komutativne. Postavljeni operativni savez i sjecište su komutativni. Dodavanje i skalarni produkt vektora također su komutativni.

Ali oduzimanje vektora i vektorski proizvod nije komutativan (vektorski produkt dva vektora je antikomutativan). Zbroj matrice je komutativan, ali množenje i oduzimanje nisu komutativni. (Umnožavanje dvije matrice može biti komutativno u posebnim slučajevima, kao što je umnožavanje matrice s inverznom ili matricom identiteta; ali definitivno matrice nisu komutativne ako matrice nisu iste veličine)

Više o asocijativnom vlasništvu

Za binarnu operaciju se kaže da je asocijativna ako redoslijed izvršenja ne utječe na rezultat kada su prisutne dvije ili više pojava operatora. Razmotrimo elemente A, B i C i binarni rad ⊗. Za operaciju ⊗ kaže se da je asocijativna ako

⊗ B ⊗ C = ⊗ (B ⊗ C) = (⊗ B) ⊗ C

Od osnovnih aritmetičkih funkcija samo su zbrajanje i množenje asocijativni.

+ (B + C) = (+ B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

× (B × C) = (× B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Oduzimanje i dijeljenje nisu asocijativni;

- (B - C) ≠ (- B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 i (5 - 4) - 3 = -2

÷ (B ÷ C) ≠ (÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Disjunkcija, konjunkcija i ekvivalencija logičkih spojeva su asocijativni, kao i zadata operacija spajanje i sjecište. Matrica i vektorski dodaci su asocijativni. Skalarni proizvod vektora je asocijativan, ali vektorski proizvod nije. Umnožavanje matrice asocijativno je samo u posebnim okolnostima.

Koja je razlika između komutativnog i asocijativnog vlasništva?

• I asocijativno svojstvo i komutacijsko svojstvo posebna su svojstva binarnih operacija, a neka ih zadovoljava, a neka ne.

• Ova se svojstva mogu vidjeti u mnogim oblicima algebričnih operacija i ostalih binarnih operacija u matematici, kao što su sjecište i unija u teoriji skupa ili logičke poveznice.

• Razlika između komutativnog i asocijativnog je u tome što komutativno svojstvo kaže da redoslijed elemenata ne mijenja konačni rezultat, dok asocijativno svojstvo kaže, da redoslijed u kojem se operacija izvodi ne utječe na konačni odgovor.