Razlika između međusobno isključivih i neovisnih događaja

Uzajamno isključivi i neovisni događaji

Ljudi često zbunjuju pojam međusobno isključivih događaja s neovisnim događajima. Zapravo, to su dvije različite stvari.

Neka su A i B svaka dva događaja povezana slučajnim eksperimentom E. P (A) se naziva „Vjerojatnost A“. Slično tome, možemo definirati vjerojatnost B kao P (B), vjerojatnost A ili B kao P (A∪B), a vjerojatnost A i B kao P (A∩B). Tada je P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Međutim, dva događaja za koja se kaže da su međusobno isključiva ako pojava jednog događaja ne utječe na drugi. Drugim riječima, ne mogu se pojaviti istovremeno. Prema tome, ako su dva događaja A i B međusobno isključiva, tada je A∩B = ∅ i stoga to podrazumijeva P (A =B) = P (A) + P (B).

Neka su A i B dva događaja u uzorku prostora S. Uvjetna vjerojatnost A, s obzirom da se B dogodio, označava se s P (A | B) i definira se kao; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), pod uvjetom da je P (B)> 0. (u suprotnom nije definirano.)

Kaže se da je događaj A neovisan o događaju B, ako na vjerojatnost da se A dogodi nije pod utjecajem da li se B dogodio ili ne. Drugim riječima, ishod događaja B nema utjecaja na ishod događaja A. Dakle, P (A | B) = P (A). Slično tome, B je neovisan od A ako je P (B) = P (B | A). Dakle, možemo zaključiti da ako su A i B neovisni događaji, tada su P (A∩B) = P (A) .P (B)

Pretpostavimo da je numerirana kocka kotrljana i pošteni novčić bačen. Neka je A događaj da dobivanje glave i B bude događaj koji kotrljaju parni broj. Tada možemo zaključiti da su događaji A i B neovisni, jer takav ishod jednog ne utječe na ishod drugog. Stoga je P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Budući da P (A∩B) ≠ 0, A i B ne mogu biti međusobno isključivi.

Pretpostavimo da urna sadrži 7 bijelih mramora i 8 crnih mramora. Definirajte događaj A kao crtanje bijelog mramora i događaj B kao crtanje crnog mramora. Pod pretpostavkom da će svaki mramor biti zamijenjen nakon što je zabilježio svoju boju, tada će P (A) i P (B) uvijek biti isti, bez obzira koliko puta izvlačimo iz urne. Zamjena mramora znači da se vjerojatnosti ne mijenjaju od crtanja do crtanja, bez obzira koju boju smo odabrali na posljednjem izvlačenju. Stoga su događaji A i B neovisni.

Međutim, ako su mramori crtani bez zamjene, tada se sve mijenja. Prema ovoj pretpostavci, događaji A i B nisu neovisni. Crtanje bijelog mramora prvi put mijenja vjerojatnost crtanja crnog mramora na drugom crtanju i tako dalje. Drugim riječima, svaki izvlačenje utječe na sljedeći ždrijeb, pa pojedini izvlačenja nisu neovisni.